Тот же типаж: есть хотя бы одна точка максимума — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Наибольшее и наименьшее значения функции. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых функция
f(x) = x2 − 8|x − a2| − 10x
имеет хотя бы одну точку максимума.
f(x) = x2 − 8|x − a2| − 10x
имеет хотя бы одну точку максимума.
Показать ответ
(−3; −1) ∪ (1; 3)
Решение
При x ≥ a2 модуль раскрывается со знаком «+»: f(x) = x2 − 18x + 8a2 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 9.
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − 2x − 8a2 — вершина x = 1.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 1 < a2 для левой и 9 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 2, справа — 2a2 − 18; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 1 < a2 < 9.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 1 < |a| < 3.
Ответ: (−3; −1) ∪ (1; 3).
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − 2x − 8a2 — вершина x = 1.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 1 < a2 для левой и 9 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 2, справа — 2a2 − 18; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 1 < a2 < 9.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 1 < |a| < 3.
Ответ: (−3; −1) ∪ (1; 3).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых функция
f(x) = x2 − 21|x − a2| − 29x
имеет хотя бы одну точку максимума.
f(x) = x2 − 21|x − a2| − 29x
имеет хотя бы одну точку максимума.
Показать ответ
(−5; −2) ∪ (2; 5)
Решение
При x ≥ a2 модуль раскрывается со знаком «+»: f(x) = x2 − 50x + 21a2 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 25.
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − 8x − 21a2 — вершина x = 4.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 4 < a2 для левой и 25 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 8, справа — 2a2 − 50; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 4 < a2 < 25.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 2 < |a| < 5.
Ответ: (−5; −2) ∪ (2; 5).
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − 8x − 21a2 — вершина x = 4.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 4 < a2 для левой и 25 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 8, справа — 2a2 − 50; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 4 < a2 < 25.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 2 < |a| < 5.
Ответ: (−5; −2) ∪ (2; 5).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых функция
f(x) = x2 − 7|x − a2| − 25x
имеет хотя бы одну точку максимума.
f(x) = x2 − 7|x − a2| − 25x
имеет хотя бы одну точку максимума.
Показать ответ
(−4; −3) ∪ (3; 4)
Решение
При x ≥ a2 модуль раскрывается со знаком «+»: f(x) = x2 − 32x + 7a2 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 16.
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − 18x − 7a2 — вершина x = 9.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 9 < a2 для левой и 16 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 18, справа — 2a2 − 32; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 9 < a2 < 16.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 3 < |a| < 4.
Ответ: (−4; −3) ∪ (3; 4).
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − 18x − 7a2 — вершина x = 9.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 9 < a2 для левой и 16 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 18, справа — 2a2 − 32; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 9 < a2 < 16.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 3 < |a| < 4.
Ответ: (−4; −3) ∪ (3; 4).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых функция
f(x) = x2 − 24|x − a2| − 26x
имеет хотя бы одну точку максимума.
f(x) = x2 − 24|x − a2| − 26x
имеет хотя бы одну точку максимума.
Показать ответ
(−5; −1) ∪ (1; 5)
Решение
При x ≥ a2 модуль раскрывается со знаком «+»: f(x) = x2 − 50x + 24a2 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 25.
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − 2x − 24a2 — вершина x = 1.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 1 < a2 для левой и 25 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 2, справа — 2a2 − 50; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 1 < a2 < 25.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 1 < |a| < 5.
Ответ: (−5; −1) ∪ (1; 5).
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − 2x − 24a2 — вершина x = 1.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 1 < a2 для левой и 25 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 2, справа — 2a2 − 50; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 1 < a2 < 25.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 1 < |a| < 5.
Ответ: (−5; −1) ∪ (1; 5).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых функция
f(x) = x2 − |x − a2| − x
имеет хотя бы одну точку максимума.
f(x) = x2 − |x − a2| − x
имеет хотя бы одну точку максимума.
Показать ответ
(−1; 0) ∪ (0; 1)
Решение
При x ≥ a2 модуль раскрывается со знаком «+»: f(x) = x2 − 2x + a2 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 1.
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − a2 — вершина x = 0.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 0 < a2 для левой и 1 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 0, справа — 2a2 − 2; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 0 < a2 < 1.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 0 < |a| < 1.
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 1).
При x ≤ a2 получаем f(x) = x2 − a2 — вершина x = 0.
Вершина считается точкой экстремума, только если лежит СТРОГО внутри своего куска: 0 < a2 для левой и 1 > a2 для правой.
В самой точке излома x = a2 производная слева равна 2a2 − 0, справа — 2a2 − 2; знак меняется (с «+» на «−», то есть это МАКСИМУМ) ровно при 0 < a2 < 1.
Обе параболы направлены ветвями вверх, поэтому других максимумов быть не может, а третий экстремум появляется вместе с изломом: 0 < |a| < 1.
Ответ: (−1; 0) ∪ (0; 1).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.