Тот же типаж с отрезком [0; 1] — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(16x2 − a2) = ·ln(4x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
·ln(16x2 − a2) = ·ln(4x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−8/3; −1/2] ∪ [5/3; 8/3)
Решение
ОДЗ: 2 − 3x ≥ 0, 16x2 − a2 > 0 и 4x + a > 0.
Так как 16x2 − a2 = (4x − a)(4x + a), равенство логарифмов при 4x + a > 0 равносильно 4x − a = 1, то есть x = 1/4(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 2/3, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−8/3; −1/2] ∪ [5/3; 8/3).
Так как 16x2 − a2 = (4x − a)(4x + a), равенство логарифмов при 4x + a > 0 равносильно 4x − a = 1, то есть x = 1/4(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 2/3, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−8/3; −1/2] ∪ [5/3; 8/3).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(9x2 − a2) = ·ln(3x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
·ln(9x2 − a2) = ·ln(3x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−1/2; 2]
Решение
ОДЗ: 5 − 2x ≥ 0, 9x2 − a2 > 0 и 3x + a > 0.
Так как 9x2 − a2 = (3x − a)(3x + a), равенство логарифмов при 3x + a > 0 равносильно 3x − a = 1, то есть x = 1/3(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 5/2, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−1/2; 2].
Так как 9x2 − a2 = (3x − a)(3x + a), равенство логарифмов при 3x + a > 0 равносильно 3x − a = 1, то есть x = 1/3(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 5/2, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−1/2; 2].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(4x2 − a2) = ·ln(2x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
·ln(4x2 − a2) = ·ln(2x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−1/2; 1]
Решение
ОДЗ: 4 − x ≥ 0, 4x2 − a2 > 0 и 2x + a > 0.
Так как 4x2 − a2 = (2x − a)(2x + a), равенство логарифмов при 2x + a > 0 равносильно 2x − a = 1, то есть x = 1/2(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 4, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−1/2; 1].
Так как 4x2 − a2 = (2x − a)(2x + a), равенство логарифмов при 2x + a > 0 равносильно 2x − a = 1, то есть x = 1/2(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 4, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−1/2; 1].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(25x2 − a2) = ·ln(5x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
·ln(25x2 − a2) = ·ln(5x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−1/2; 4]
Решение
ОДЗ: 4 − 3x ≥ 0, 25x2 − a2 > 0 и 5x + a > 0.
Так как 25x2 − a2 = (5x − a)(5x + a), равенство логарифмов при 5x + a > 0 равносильно 5x − a = 1, то есть x = 1/5(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 4/3, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−1/2; 4].
Так как 25x2 − a2 = (5x − a)(5x + a), равенство логарифмов при 5x + a > 0 равносильно 5x − a = 1, то есть x = 1/5(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 4/3, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−1/2; 4].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(16x2 − a2) = ·ln(4x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
·ln(16x2 − a2) = ·ln(4x + a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
(−1/2; 3]
Решение
ОДЗ: 3 − 2x ≥ 0, 16x2 − a2 > 0 и 4x + a > 0.
Так как 16x2 − a2 = (4x − a)(4x + a), равенство логарифмов при 4x + a > 0 равносильно 4x − a = 1, то есть x = 1/4(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 3/2, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−1/2; 3].
Так как 16x2 − a2 = (4x − a)(4x + a), равенство логарифмов при 4x + a > 0 равносильно 4x − a = 1, то есть x = 1/4(a + 1).
Второй кандидат — нуль корня x = 3/2, он годится, когда оба логарифма там определены.
Ответ: (−1/2; 3].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.