Тот же типаж с параметром под логарифмом: x³+px²−x·log_c(b−s)+q = 0 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение
x3 − x·log2(b − 1) − 2 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−2; 2].
x3 − x·log2(b − 1) − 2 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−2; 2].
Показать ответ
(1; 9) ∪ (33; +∞)
Решение
ОДЗ: b − 1 > 0, то есть b > 1. Обозначим a = log2(b − 1); когда b пробегает (1; +∞), значение a пробегает ВСЮ числовую прямую, причём замена b = 1 + 2ᵃ возрастающая.
Уравнение принимает вид x3 − ax − 2 = 0. При x = 0 оно даёт −2 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 − 2x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = 3) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−2; 2] получается при a ∈ (−∞; 3) ∪ (5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 1 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (1; 9) ∪ (33; +∞).
Уравнение принимает вид x3 − ax − 2 = 0. При x = 0 оно даёт −2 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 − 2x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = 3) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−2; 2] получается при a ∈ (−∞; 3) ∪ (5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 1 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (1; 9) ∪ (33; +∞).
Пример 2
Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение
x3 − x·log2(b − 3) − 2 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−2; 2].
x3 − x·log2(b − 3) − 2 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−2; 2].
Показать ответ
(3; 11) ∪ (35; +∞)
Решение
ОДЗ: b − 3 > 0, то есть b > 3. Обозначим a = log2(b − 3); когда b пробегает (3; +∞), значение a пробегает ВСЮ числовую прямую, причём замена b = 3 + 2ᵃ возрастающая.
Уравнение принимает вид x3 − ax − 2 = 0. При x = 0 оно даёт −2 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 − 2x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = 3) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−2; 2] получается при a ∈ (−∞; 3) ∪ (5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 3 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (3; 11) ∪ (35; +∞).
Уравнение принимает вид x3 − ax − 2 = 0. При x = 0 оно даёт −2 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 − 2x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = 3) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−2; 2] получается при a ∈ (−∞; 3) ∪ (5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 3 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (3; 11) ∪ (35; +∞).
Пример 3
Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение
x3 + 5x2 − x·log2(b − 3) − 9 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].
x3 + 5x2 − x·log2(b − 3) − 9 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].
Показать ответ
(3; 25/8] ∪ [35; +∞)
Решение
ОДЗ: b − 3 > 0, то есть b > 3. Обозначим a = log2(b − 3); когда b пробегает (3; +∞), значение a пробегает ВСЮ числовую прямую, причём замена b = 3 + 2ᵃ возрастающая.
Уравнение принимает вид x3 + 5x2 − ax − 9 = 0. При x = 0 оно даёт −9 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 + 5x2 − 9x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = −3) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−1; 1] получается при a ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 3 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (3; 25/8] ∪ [35; +∞).
Уравнение принимает вид x3 + 5x2 − ax − 9 = 0. При x = 0 оно даёт −9 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 + 5x2 − 9x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = −3) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−1; 1] получается при a ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 3 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (3; 25/8] ∪ [35; +∞).
Пример 4
Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение
x3 + 5x2 − x·log2(b − 1) − 9 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].
x3 + 5x2 − x·log2(b − 1) − 9 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 1].
Показать ответ
(1; 9/8] ∪ [33; +∞)
Решение
ОДЗ: b − 1 > 0, то есть b > 1. Обозначим a = log2(b − 1); когда b пробегает (1; +∞), значение a пробегает ВСЮ числовую прямую, причём замена b = 1 + 2ᵃ возрастающая.
Уравнение принимает вид x3 + 5x2 − ax − 9 = 0. При x = 0 оно даёт −9 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 + 5x2 − 9x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = −3) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−1; 1] получается при a ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 1 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (1; 9/8] ∪ [33; +∞).
Уравнение принимает вид x3 + 5x2 − ax − 9 = 0. При x = 0 оно даёт −9 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 + 5x2 − 9x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = −3) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−1; 1] получается при a ∈ (−∞; −3] ∪ [5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 1 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (1; 9/8] ∪ [33; +∞).
Пример 5
Найдите все значения b, при каждом из которых уравнение
x3 − x·log2(b − 3) − 2 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−2; 1].
x3 − x·log2(b − 3) − 2 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−2; 1].
Показать ответ
(3; 7/2] ∪ {11} ∪ (35; +∞)
Решение
ОДЗ: b − 3 > 0, то есть b > 3. Обозначим a = log2(b − 3); когда b пробегает (3; +∞), значение a пробегает ВСЮ числовую прямую, причём замена b = 3 + 2ᵃ возрастающая.
Уравнение принимает вид x3 − ax − 2 = 0. При x = 0 оно даёт −2 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 − 2x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = −1) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−2; 1] получается при a ∈ (−∞; −1] ∪ {3} ∪ (5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 3 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (3; 7/2] ∪ {11} ∪ (35; +∞).
Уравнение принимает вид x3 − ax − 2 = 0. При x = 0 оно даёт −2 = 0 — неверно, поэтому x = 0 корнем не бывает и параметр выражается: a = x3 − 2x.
Число корней меняется только тогда, когда корень уходит через конец отрезка (a = 5 или a = −1) либо два корня сливаются (нулевой дискриминант кубики).
Единственный корень на [−2; 1] получается при a ∈ (−∞; −1] ∪ {3} ∪ (5; +∞).
Остаётся вернуться к b по формуле b = 3 + 2ᵃ (функция возрастающая, поэтому концы переходят в концы, а строгость сохраняется).
Ответ: (3; 7/2] ∪ {11} ∪ (35; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.