Весь отрезок [L;R] — решения уравнения с модулями — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Показательные и модульные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число из отрезка [2; 3] является решением уравнения
|x − a − 2| + |x + a + 2| = 2a + 4.
|x − a − 2| + |x + a + 2| = 2a + 4.
Показать ответ
[1; +∞)
Решение
Обозначим A = a + 2 и B = −a − 2. Тогда |A − B| = |2a + 4|, и при 2a + 4 ≥ 0 правая часть уравнения равна ровно |A − B|.
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 2; a + 2] (при 2a + 4 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [2; 3] было решением, нужно −a − 2 ≤ 2 и a + 2 ≥ 3, то есть a ≥ −4 и a ≥ 1.
Ответ: [1; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 2; a + 2] (при 2a + 4 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [2; 3] было решением, нужно −a − 2 ≤ 2 и a + 2 ≥ 3, то есть a ≥ −4 и a ≥ 1.
Ответ: [1; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число из отрезка [1; 4] является решением уравнения
|x − a − 3| + |x + a + 3| = 2a + 6.
|x − a − 3| + |x + a + 3| = 2a + 6.
Показать ответ
[1; +∞)
Решение
Обозначим A = a + 3 и B = −a − 3. Тогда |A − B| = |2a + 6|, и при 2a + 6 ≥ 0 правая часть уравнения равна ровно |A − B|.
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 3; a + 3] (при 2a + 6 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [1; 4] было решением, нужно −a − 3 ≤ 1 и a + 3 ≥ 4, то есть a ≥ −4 и a ≥ 1.
Ответ: [1; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 3; a + 3] (при 2a + 6 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [1; 4] было решением, нужно −a − 3 ≤ 1 и a + 3 ≥ 4, то есть a ≥ −4 и a ≥ 1.
Ответ: [1; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число из отрезка [2; 3] является решением уравнения
|x − a − 1| + |x + a + 3| = 2a + 4.
|x − a − 1| + |x + a + 3| = 2a + 4.
Показать ответ
[2; +∞)
Решение
Обозначим A = a + 1 и B = −a − 3. Тогда |A − B| = |2a + 4|, и при 2a + 4 ≥ 0 правая часть уравнения равна ровно |A − B|.
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 3; a + 1] (при 2a + 4 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [2; 3] было решением, нужно −a − 3 ≤ 2 и a + 1 ≥ 3, то есть a ≥ −5 и a ≥ 2.
Ответ: [2; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 3; a + 1] (при 2a + 4 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [2; 3] было решением, нужно −a − 3 ≤ 2 и a + 1 ≥ 3, то есть a ≥ −5 и a ≥ 2.
Ответ: [2; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число из отрезка [2; 3] является решением уравнения
|x − a − 3| + |x + a + 4| = 2a + 7.
|x − a − 3| + |x + a + 4| = 2a + 7.
Показать ответ
[0; +∞)
Решение
Обозначим A = a + 3 и B = −a − 4. Тогда |A − B| = |2a + 7|, и при 2a + 7 ≥ 0 правая часть уравнения равна ровно |A − B|.
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 4; a + 3] (при 2a + 7 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [2; 3] было решением, нужно −a − 4 ≤ 2 и a + 3 ≥ 3, то есть a ≥ −6 и a ≥ 0.
Ответ: [0; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 4; a + 3] (при 2a + 7 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [2; 3] было решением, нужно −a − 4 ≤ 2 и a + 3 ≥ 3, то есть a ≥ −6 и a ≥ 0.
Ответ: [0; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых любое число из отрезка [2; 3] является решением уравнения
|x − a − 2| + |x + a + 3| = 2a + 5.
|x − a − 2| + |x + a + 3| = 2a + 5.
Показать ответ
[1; +∞)
Решение
Обозначим A = a + 2 и B = −a − 3. Тогда |A − B| = |2a + 5|, и при 2a + 5 ≥ 0 правая часть уравнения равна ровно |A − B|.
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 3; a + 2] (при 2a + 5 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [2; 3] было решением, нужно −a − 3 ≤ 2 и a + 2 ≥ 3, то есть a ≥ −5 и a ≥ 1.
Ответ: [1; +∞).
Сумма расстояний от x до A и до B равна |A − B| РОВНО на отрезке между A и B, поэтому множество решений — отрезок [−a − 3; a + 2] (при 2a + 5 < 0 решений нет вовсе).
Чтобы каждое число из [2; 3] было решением, нужно −a − 3 ≤ 2 и a + 2 ≥ 3, то есть a ≥ −5 и a ≥ 1.
Ответ: [1; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.