Возрастающая левая часть: «при всех x» сводится к правому концу — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Неравенства «при всех x». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
2x3 + 8x + 2|x + a − 1| + 2|2x − a + 1| + ∛(x − 9) ≤ 20
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
2x3 + 8x + 2|x + a − 1| + 2|2x − a + 1| + ∛(x − 9) ≤ 20
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
Показать ответ
[−3/2; 9/2]
Решение
Покажем, что левая часть ВОЗРАСТАЕТ. У гладкой части производная равна 6x2 + 8 плюс положительное слагаемое от корня, то есть не меньше 8. Модули добавляют наклон, по модулю не больший 2 + 2·2 = 6 < 8.
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 2|a| + 2|a − 3| ≤ 12 (здесь ∛(x − 9) в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 0 и 3 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: [−3/2; 9/2].
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 2|a| + 2|a − 3| ≤ 12 (здесь ∛(x − 9) в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 0 и 3 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: [−3/2; 9/2].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
x3 + 9x + 2|x + a − 3| + |3x − a + 3| + ≤ 12
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
x3 + 9x + 2|x + a − 3| + |3x − a + 3| + ≤ 12
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
Показать ответ
{2}
Решение
Покажем, что левая часть ВОЗРАСТАЕТ. У гладкой части производная равна 3x2 + 9 плюс положительное слагаемое от корня, то есть не меньше 9. Модули добавляют наклон, по модулю не больший 2 + 3 = 5 < 9.
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 2|a − 2| + |a − 6| ≤ 4 (здесь в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 2 и 6 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: {2}.
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 2|a − 2| + |a − 6| ≤ 4 (здесь в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 2 и 6 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: {2}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
x3 + 8x + 3|x + a − 1| + |3x − a + 1| + ∛(x − 9) ≤ 16
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
x3 + 8x + 3|x + a − 1| + |3x − a + 1| + ∛(x − 9) ≤ 16
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
Показать ответ
[−5/4; 5/2]
Решение
Покажем, что левая часть ВОЗРАСТАЕТ. У гладкой части производная равна 3x2 + 8 плюс положительное слагаемое от корня, то есть не меньше 8. Модули добавляют наклон, по модулю не больший 3 + 3 = 6 < 8.
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 3|a| + |a − 4| ≤ 9 (здесь ∛(x − 9) в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 0 и 4 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: [−5/4; 5/2].
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 3|a| + |a − 4| ≤ 9 (здесь ∛(x − 9) в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 0 и 4 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: [−5/4; 5/2].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
x3 + 10x + 3|x + a − 2| + 2|2x − a + 2| + ∛(x − 9) ≤ 20
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
x3 + 10x + 3|x + a − 2| + 2|2x − a + 2| + ∛(x − 9) ≤ 20
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
Показать ответ
[0; 22/5]
Решение
Покажем, что левая часть ВОЗРАСТАЕТ. У гладкой части производная равна 3x2 + 10 плюс положительное слагаемое от корня, то есть не меньше 10. Модули добавляют наклон, по модулю не больший 3 + 2·2 = 7 < 10.
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 3|a − 1| + 2|a − 4| ≤ 11 (здесь ∛(x − 9) в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 1 и 4 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: [0; 22/5].
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 3|a − 1| + 2|a − 4| ≤ 11 (здесь ∛(x − 9) в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 1 и 4 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: [0; 22/5].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
2x3 + 8x + 2|x + a − 2| + 2|2x − a + 2| + ∛(2x − 10) ≤ 20
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
2x3 + 8x + 2|x + a − 2| + 2|2x − a + 2| + ∛(2x − 10) ≤ 20
выполняется при всех x из отрезка [−2; 1].
Показать ответ
[−1/2; 11/2]
Решение
Покажем, что левая часть ВОЗРАСТАЕТ. У гладкой части производная равна 6x2 + 8 плюс положительное слагаемое от корня, то есть не меньше 8. Модули добавляют наклон, по модулю не больший 2 + 2·2 = 6 < 8.
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 2|a − 1| + 2|a − 4| ≤ 12 (здесь ∛(2x − 10) в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 1 и 4 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: [−1/2; 11/2].
Значит левая часть строго возрастает на всём отрезке, и её наибольшее значение достигается в правом конце x = 1. Поэтому «неравенство при всех x» равносильно одному условию — при x = 1.
Подставляя, получаем 2|a − 1| + 2|a − 4| ≤ 12 (здесь ∛(2x − 10) в точке x = 1 равен −2).
Это сумма двух взвешенных расстояний до точек 1 и 4 — обычная кусочно-линейная задача, решаемая точно.
Ответ: [−1/2; 11/2].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.