√(x²−a²) = √(3x²−…) — равенство двух корней — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«Ровно один корень на отрезке». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
[−2/3; 0) ∪ {2}
Решение
Оба корня определены и равны ⟺ подкоренные равны и неотрицательны.
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (3a + 2)x + 2a) = −2(x − a)(x − 1/2a − 1), значит кандидаты — x = a и x = 1/2a + 1.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 2].
Ответ: [−2/3; 0) ∪ {2}.
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (3a + 2)x + 2a) = −2(x − a)(x − 1/2a − 1), значит кандидаты — x = a и x = 1/2a + 1.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 2].
Ответ: [−2/3; 0) ∪ {2}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
[−1/3; 0) ∪ {1}
Решение
Оба корня определены и равны ⟺ подкоренные равны и неотрицательны.
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (3a + 1)x + a) = −2(x − a)(x − 1/2a − 1/2), значит кандидаты — x = a и x = 1/2a + 1/2.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 1].
Ответ: [−1/3; 0) ∪ {1}.
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (3a + 1)x + a) = −2(x − a)(x − 1/2a − 1/2), значит кандидаты — x = a и x = 1/2a + 1/2.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 1].
Ответ: [−1/3; 0) ∪ {1}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
[−2/5; 0) ∪ (2/3; 2]
Решение
Оба корня определены и равны ⟺ подкоренные равны и неотрицательны.
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (5a + 2)x + 2a2 + 2a) = −2(x − a)(x − 3/2a − 1), значит кандидаты — x = a и x = 3/2a + 1.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 2].
Ответ: [−2/5; 0) ∪ (2/3; 2].
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (5a + 2)x + 2a2 + 2a) = −2(x − a)(x − 3/2a − 1), значит кандидаты — x = a и x = 3/2a + 1.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 2].
Ответ: [−2/5; 0) ∪ (2/3; 2].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
[−4/5; 0) ∪ (0; 2]
Решение
Оба корня определены и равны ⟺ подкоренные равны и неотрицательны.
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (5a + 4)x + 2a2 + 4a) = −2(x − a)(x − 3/2a − 2), значит кандидаты — x = a и x = 3/2a + 2.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 2].
Ответ: [−4/5; 0) ∪ (0; 2].
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (5a + 4)x + 2a2 + 4a) = −2(x − a)(x − 3/2a − 2), значит кандидаты — x = a и x = 3/2a + 2.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 2].
Ответ: [−4/5; 0) ∪ (0; 2].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
=
имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].
Показать ответ
[−1/5; 0) ∪ (1/3; 1]
Решение
Оба корня определены и равны ⟺ подкоренные равны и неотрицательны.
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (5a + 1)x + 2a2 + a) = −2(x − a)(x − 3/2a − 1/2), значит кандидаты — x = a и x = 3/2a + 1/2.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 1].
Ответ: [−1/5; 0) ∪ (1/3; 1].
Разность подкоренных: (x2 − a2) − (3x2 − (5a + 1)x + 2a2 + a) = −2(x − a)(x − 3/2a − 1/2), значит кандидаты — x = a и x = 3/2a + 1/2.
Кандидат годится, когда x2 − a2 ≥ 0 (для x = a это верно всегда) и когда он попал на отрезок [0; 1].
Ответ: [−1/5; 0) ∪ (1/3; 1].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.