x⁴+(a−p)² = сумма модулей — одно решение или ни одного — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Окружность и семейство кривых; два модуля. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 + (a − 4)2 = 3|x − a + 4| + 3|x + a − 4|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
x4 + (a − 4)2 = 3|x − a + 4| + 3|x + a − 4|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; −2] ∪ [10; +∞)
Решение
Обозначим t = a − 4. Правая часть равна 6·max(|x|; |t|), поэтому после замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0 уравнение принимает вид u4 + v2 = 6·max(u; v).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 6v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 6. При u > v: u4 − 6u + v2 = 0, и при v ≥ 6 левая часть строго положительна (u4 > 6u уже при u > 6).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 6, то есть |a − 4| ≥ 6 (при v = 6 остаётся один корень x = 0, при v > 6 корней нет).
Ответ: (−∞; −2] ∪ [10; +∞).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 6v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 6. При u > v: u4 − 6u + v2 = 0, и при v ≥ 6 левая часть строго положительна (u4 > 6u уже при u > 6).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 6, то есть |a − 4| ≥ 6 (при v = 6 остаётся один корень x = 0, при v > 6 корней нет).
Ответ: (−∞; −2] ∪ [10; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 + (a − 4)2 = 2|x − a + 4| + 2|x + a − 4|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
x4 + (a − 4)2 = 2|x − a + 4| + 2|x + a − 4|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; 0] ∪ [8; +∞)
Решение
Обозначим t = a − 4. Правая часть равна 4·max(|x|; |t|), поэтому после замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0 уравнение принимает вид u4 + v2 = 4·max(u; v).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 4v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 4. При u > v: u4 − 4u + v2 = 0, и при v ≥ 4 левая часть строго положительна (u4 > 4u уже при u > 4).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 4, то есть |a − 4| ≥ 4 (при v = 4 остаётся один корень x = 0, при v > 4 корней нет).
Ответ: (−∞; 0] ∪ [8; +∞).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 4v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 4. При u > v: u4 − 4u + v2 = 0, и при v ≥ 4 левая часть строго положительна (u4 > 4u уже при u > 4).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 4, то есть |a − 4| ≥ 4 (при v = 4 остаётся один корень x = 0, при v > 4 корней нет).
Ответ: (−∞; 0] ∪ [8; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 + (a − 1)2 = 3|x − a + 1| + 3|x + a − 1|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
x4 + (a − 1)2 = 3|x − a + 1| + 3|x + a − 1|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; −5] ∪ [7; +∞)
Решение
Обозначим t = a − 1. Правая часть равна 6·max(|x|; |t|), поэтому после замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0 уравнение принимает вид u4 + v2 = 6·max(u; v).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 6v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 6. При u > v: u4 − 6u + v2 = 0, и при v ≥ 6 левая часть строго положительна (u4 > 6u уже при u > 6).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 6, то есть |a − 1| ≥ 6 (при v = 6 остаётся один корень x = 0, при v > 6 корней нет).
Ответ: (−∞; −5] ∪ [7; +∞).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 6v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 6. При u > v: u4 − 6u + v2 = 0, и при v ≥ 6 левая часть строго положительна (u4 > 6u уже при u > 6).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 6, то есть |a − 1| ≥ 6 (при v = 6 остаётся один корень x = 0, при v > 6 корней нет).
Ответ: (−∞; −5] ∪ [7; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 + (a − 2)2 = 2|x − a + 2| + 2|x + a − 2|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
x4 + (a − 2)2 = 2|x − a + 2| + 2|x + a − 2|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; −2] ∪ [6; +∞)
Решение
Обозначим t = a − 2. Правая часть равна 4·max(|x|; |t|), поэтому после замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0 уравнение принимает вид u4 + v2 = 4·max(u; v).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 4v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 4. При u > v: u4 − 4u + v2 = 0, и при v ≥ 4 левая часть строго положительна (u4 > 4u уже при u > 4).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 4, то есть |a − 2| ≥ 4 (при v = 4 остаётся один корень x = 0, при v > 4 корней нет).
Ответ: (−∞; −2] ∪ [6; +∞).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 4v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 4. При u > v: u4 − 4u + v2 = 0, и при v ≥ 4 левая часть строго положительна (u4 > 4u уже при u > 4).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 4, то есть |a − 2| ≥ 4 (при v = 4 остаётся один корень x = 0, при v > 4 корней нет).
Ответ: (−∞; −2] ∪ [6; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x4 + (a − 1)2 = 2|x − a + 1| + 2|x + a − 1|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
x4 + (a − 1)2 = 2|x − a + 1| + 2|x + a − 1|
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Показать ответ
(−∞; −3] ∪ [5; +∞)
Решение
Обозначим t = a − 1. Правая часть равна 4·max(|x|; |t|), поэтому после замены u = |x| ≥ 0, v = |t| ≥ 0 уравнение принимает вид u4 + v2 = 4·max(u; v).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 4v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 4. При u > v: u4 − 4u + v2 = 0, и при v ≥ 4 левая часть строго положительна (u4 > 4u уже при u > 4).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 4, то есть |a − 1| ≥ 4 (при v = 4 остаётся один корень x = 0, при v > 4 корней нет).
Ответ: (−∞; −3] ∪ [5; +∞).
Каждое u > 0 даёт два корня x = ±u, а u = 0 — один. Значит «не больше одного решения» ⟺ положительных u нет вовсе.
При u ≤ v: u4 = 4v − v2 — положительное u есть только при 0 < v < 4. При u > v: u4 − 4u + v2 = 0, и при v ≥ 4 левая часть строго положительна (u4 > 4u уже при u > 4).
Итого положительных u нет ровно при v ≥ 4, то есть |a − 1| ≥ 4 (при v = 4 остаётся один корень x = 0, при v > 4 корней нет).
Ответ: (−∞; −3] ∪ [5; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.