|(x²+ax+c)/(px²+qx+r)| < M при всех x — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Неравенства «при всех x». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 + ax + 1x2 + x + 1| < 3
выполняется при всех значениях x.
|x2 + ax + 1x2 + x + 1| < 3
выполняется при всех значениях x.
Показать ответ
(−1; 5)
Решение
Знаменатель положителен при всех x (его дискриминант -3 < 0), поэтому неравенство равносильно двойному: −3(x2 + x + 1) < x2 + ax + 1 < 3(x2 + x + 1).
Правая часть даёт (2)x2 + (3 − a)x + 2 > 0, левая — (4)x2 + (3 + a)x + 4 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
(a + 3)2 < 64 и (a − 3)2 < 16.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−1; 5).
Правая часть даёт (2)x2 + (3 − a)x + 2 > 0, левая — (4)x2 + (3 + a)x + 4 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
(a + 3)2 < 64 и (a − 3)2 < 16.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−1; 5).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 + ax + 12x2 + 2| < 3
выполняется при всех значениях x.
|x2 + ax + 12x2 + 2| < 3
выполняется при всех значениях x.
Показать ответ
(−10; 10)
Решение
Знаменатель положителен при всех x (его дискриминант -16 < 0), поэтому неравенство равносильно двойному: −3(2x2 + 2) < x2 + ax + 1 < 3(2x2 + 2).
Правая часть даёт (5)x2 + (a)x + 5 > 0, левая — (7)x2 + (a)x + 7 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
a2 < 196 и a2 < 100.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−10; 10).
Правая часть даёт (5)x2 + (a)x + 5 > 0, левая — (7)x2 + (a)x + 7 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
a2 < 196 и a2 < 100.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−10; 10).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 + ax + 12x2 + x + 2| < 5
выполняется при всех значениях x.
|x2 + ax + 12x2 + x + 2| < 5
выполняется при всех значениях x.
Показать ответ
(−13; 17)
Решение
Знаменатель положителен при всех x (его дискриминант -15 < 0), поэтому неравенство равносильно двойному: −5(2x2 + x + 2) < x2 + ax + 1 < 5(2x2 + x + 2).
Правая часть даёт (9)x2 + (5 − a)x + 9 > 0, левая — (11)x2 + (5 + a)x + 11 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
(a + 5)2 < 484 и (a − 5)2 < 324.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−13; 17).
Правая часть даёт (9)x2 + (5 − a)x + 9 > 0, левая — (11)x2 + (5 + a)x + 11 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
(a + 5)2 < 484 и (a − 5)2 < 324.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−13; 17).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 + ax + 12x2 + 2| < 2
выполняется при всех значениях x.
|x2 + ax + 12x2 + 2| < 2
выполняется при всех значениях x.
Показать ответ
(−6; 6)
Решение
Знаменатель положителен при всех x (его дискриминант -16 < 0), поэтому неравенство равносильно двойному: −2(2x2 + 2) < x2 + ax + 1 < 2(2x2 + 2).
Правая часть даёт (3)x2 + (a)x + 3 > 0, левая — (5)x2 + (a)x + 5 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
a2 < 100 и a2 < 36.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−6; 6).
Правая часть даёт (3)x2 + (a)x + 3 > 0, левая — (5)x2 + (a)x + 5 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
a2 < 100 и a2 < 36.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−6; 6).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 + ax + 12x2 + 2x + 2| < 2
выполняется при всех значениях x.
|x2 + ax + 12x2 + 2x + 2| < 2
выполняется при всех значениях x.
Показать ответ
(−2; 6)
Решение
Знаменатель положителен при всех x (его дискриминант -12 < 0), поэтому неравенство равносильно двойному: −2(2x2 + 2x + 2) < x2 + ax + 1 < 2(2x2 + 2x + 2).
Правая часть даёт (3)x2 + (4 − a)x + 3 > 0, левая — (5)x2 + (4 + a)x + 5 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
(a + 4)2 < 100 и (a − 4)2 < 36.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−2; 6).
Правая часть даёт (3)x2 + (4 − a)x + 3 > 0, левая — (5)x2 + (4 + a)x + 5 > 0.
Оба трёхчлена имеют положительный старший коэффициент, поэтому каждое неравенство выполняется при всех x ровно тогда, когда его дискриминант отрицателен:
(a + 4)2 < 100 и (a − 4)2 < 36.
Пересекая полученные промежутки, получаем ответ.
Ответ: (−2; 6).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.