√(x+ca)·ln(x−a) = (x−p)·ln(x−a) — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Произведение с логарифмом: f·ln g = f·ln h. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x − a) = (x − 1)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
·ln(x − a) = (x − 1)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
Показать ответ
{−5/4} ∪ (−1; −1/2) ∪ (1; 2]
Решение
ОДЗ: x − a > 0 и x + a ≥ 0. Перенесём всё влево: ln(x − a)·(√(x + a) − (x − 1)) = 0.
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + a) = x − 1; это возможно лишь при x ≥ 1, и тогда x2 − 3x + 1 − a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 3].
Ответ: {−5/4} ∪ (−1; −1/2) ∪ (1; 2].
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + a) = x − 1; это возможно лишь при x ≥ 1, и тогда x2 − 3x + 1 − a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 3].
Ответ: {−5/4} ∪ (−1; −1/2) ∪ (1; 2].
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x − a) = (x − 2)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
·ln(x − a) = (x − 2)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
Показать ответ
{−3/4} ∪ [−1/4; 2]
Решение
ОДЗ: x − a > 0 и x + 3a ≥ 0. Перенесём всё влево: ln(x − a)·(√(x + 3a) − (x − 2)) = 0.
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + 3a) = x − 2; это возможно лишь при x ≥ 2, и тогда x2 − 5x + 4 − 3a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 3].
Ответ: {−3/4} ∪ [−1/4; 2].
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + 3a) = x − 2; это возможно лишь при x ≥ 2, и тогда x2 − 5x + 4 − 3a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 3].
Ответ: {−3/4} ∪ [−1/4; 2].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x − a) = (x − 4)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
·ln(x − a) = (x − 4)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].
Показать ответ
[−1/2; 2]
Решение
ОДЗ: x − a > 0 и x + a ≥ 0. Перенесём всё влево: ln(x − a)·(√(x + a) − (x − 4)) = 0.
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + a) = x − 4; это возможно лишь при x ≥ 4, и тогда x2 − 9x + 16 − a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 3].
Ответ: [−1/2; 2].
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + a) = x − 4; это возможно лишь при x ≥ 4, и тогда x2 − 9x + 16 − a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 3].
Ответ: [−1/2; 2].
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x − a) = (x − 4)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
·ln(x − a) = (x − 4)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [0; 2].
Показать ответ
[−1/4; 1]
Решение
ОДЗ: x − a > 0 и x + 3a ≥ 0. Перенесём всё влево: ln(x − a)·(√(x + 3a) − (x − 4)) = 0.
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + 3a) = x − 4; это возможно лишь при x ≥ 4, и тогда x2 − 9x + 16 − 3a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 2].
Ответ: [−1/4; 1].
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + 3a) = x − 4; это возможно лишь при x ≥ 4, и тогда x2 − 9x + 16 − 3a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [0; 2].
Ответ: [−1/4; 1].
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
·ln(x − a) = (x − 4)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [1; 3].
·ln(x − a) = (x − 4)·ln(x − a)
имеет ровно один корень на отрезке [1; 3].
Показать ответ
[0; 2]
Решение
ОДЗ: x − a > 0 и x + 3a ≥ 0. Перенесём всё влево: ln(x − a)·(√(x + 3a) − (x − 4)) = 0.
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + 3a) = x − 4; это возможно лишь при x ≥ 4, и тогда x2 − 9x + 16 − 3a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [1; 3].
Ответ: [0; 2].
Логарифм равен нулю при x − a = 1, то есть x = a + 1 (нужно, чтобы корень там был определён).
Второй множитель: √(x + 3a) = x − 4; это возможно лишь при x ≥ 4, и тогда x2 − 9x + 16 − 3a = 0.
Считаем, сколько таких x лежит на отрезке [1; 3].
Ответ: [0; 2].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.