√(x⁴−k²x²+a²) = x²+kx±a — ровно три различных корня — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Иррациональные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= x2 + 4x − a
имеет ровно три различных корня.
= x2 + 4x − a
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
(−∞; −16) ∪ (−16; 0)
Решение
Обе части неотрицательны только при x2 + 4x − a ≥ 0 — это обязательное условие; при нём возведение в квадрат равносильно.
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(4x2 + (16 − a)x − 4a) = 2x(4x − a)(x + 4).
Значит кандидаты — x = 0, x = a4 и x = −4.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −4 она равна −a, при x = a/4 — равна a2/16 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a < 0 и при этом a/4 не совпадает ни с 0, ни с −4, то есть a ≠ 0 и a ≠ −16.
Ответ: (−∞; −16) ∪ (−16; 0).
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(4x2 + (16 − a)x − 4a) = 2x(4x − a)(x + 4).
Значит кандидаты — x = 0, x = a4 и x = −4.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −4 она равна −a, при x = a/4 — равна a2/16 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a < 0 и при этом a/4 не совпадает ни с 0, ни с −4, то есть a ≠ 0 и a ≠ −16.
Ответ: (−∞; −16) ∪ (−16; 0).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= x2 + 4x + a
имеет ровно три различных корня.
= x2 + 4x + a
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
(0; 16) ∪ (16; +∞)
Решение
Обе части неотрицательны только при x2 + 4x + a ≥ 0 — это обязательное условие; при нём возведение в квадрат равносильно.
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(4x2 + (16 + a)x + 4a) = 2x(4x + a)(x + 4).
Значит кандидаты — x = 0, x = −a4 и x = −4.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −4 она равна a, при x = −a/4 — равна a2/16 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a > 0 и при этом −a/4 не совпадает ни с 0, ни с −4, то есть a ≠ 0 и a ≠ 16.
Ответ: (0; 16) ∪ (16; +∞).
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(4x2 + (16 + a)x + 4a) = 2x(4x + a)(x + 4).
Значит кандидаты — x = 0, x = −a4 и x = −4.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −4 она равна a, при x = −a/4 — равна a2/16 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a > 0 и при этом −a/4 не совпадает ни с 0, ни с −4, то есть a ≠ 0 и a ≠ 16.
Ответ: (0; 16) ∪ (16; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= x2 + x − a
имеет ровно три различных корня.
= x2 + x − a
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
(−∞; −1) ∪ (−1; 0)
Решение
Обе части неотрицательны только при x2 + x − a ≥ 0 — это обязательное условие; при нём возведение в квадрат равносильно.
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(x2 + (1 − a)x − a) = 2x(x − a)(x + 1).
Значит кандидаты — x = 0, x = a1 и x = −1.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −1 она равна −a, при x = a/1 — равна a2/1 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a < 0 и при этом a/1 не совпадает ни с 0, ни с −1, то есть a ≠ 0 и a ≠ −1.
Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 0).
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(x2 + (1 − a)x − a) = 2x(x − a)(x + 1).
Значит кандидаты — x = 0, x = a1 и x = −1.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −1 она равна −a, при x = a/1 — равна a2/1 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a < 0 и при этом a/1 не совпадает ни с 0, ни с −1, то есть a ≠ 0 и a ≠ −1.
Ответ: (−∞; −1) ∪ (−1; 0).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= x2 + 2x − a
имеет ровно три различных корня.
= x2 + 2x − a
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
(−∞; −4) ∪ (−4; 0)
Решение
Обе части неотрицательны только при x2 + 2x − a ≥ 0 — это обязательное условие; при нём возведение в квадрат равносильно.
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(2x2 + (4 − a)x − 2a) = 2x(2x − a)(x + 2).
Значит кандидаты — x = 0, x = a2 и x = −2.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −2 она равна −a, при x = a/2 — равна a2/4 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a < 0 и при этом a/2 не совпадает ни с 0, ни с −2, то есть a ≠ 0 и a ≠ −4.
Ответ: (−∞; −4) ∪ (−4; 0).
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(2x2 + (4 − a)x − 2a) = 2x(2x − a)(x + 2).
Значит кандидаты — x = 0, x = a2 и x = −2.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −2 она равна −a, при x = a/2 — равна a2/4 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a < 0 и при этом a/2 не совпадает ни с 0, ни с −2, то есть a ≠ 0 и a ≠ −4.
Ответ: (−∞; −4) ∪ (−4; 0).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
= x2 + 3x − a
имеет ровно три различных корня.
= x2 + 3x − a
имеет ровно три различных корня.
Показать ответ
(−∞; −9) ∪ (−9; 0)
Решение
Обе части неотрицательны только при x2 + 3x − a ≥ 0 — это обязательное условие; при нём возведение в квадрат равносильно.
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(3x2 + (9 − a)x − 3a) = 2x(3x − a)(x + 3).
Значит кандидаты — x = 0, x = a3 и x = −3.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −3 она равна −a, при x = a/3 — равна a2/9 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a < 0 и при этом a/3 не совпадает ни с 0, ни с −3, то есть a ≠ 0 и a ≠ −9.
Ответ: (−∞; −9) ∪ (−9; 0).
После возведения x4 и a2 сокращаются: 0 = 2x(3x2 + (9 − a)x − 3a) = 2x(3x − a)(x + 3).
Значит кандидаты — x = 0, x = a3 и x = −3.
Проверка знака правой части: при x = 0 и при x = −3 она равна −a, при x = a/3 — равна a2/9 ≥ 0 (годится всегда).
Три РАЗЛИЧНЫХ корня получаются, когда a < 0 и при этом a/3 не совпадает ни с 0, ни с −3, то есть a ≠ 0 и a ≠ −9.
Ответ: (−∞; −9) ∪ (−9; 0).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.