√x + √(pa−x) = ca — ровно два различных корня — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Иррациональные уравнения. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = a
имеет ровно два различных корня.
+ = a
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
[1; 2)
Решение
ОДЗ: 0 ≤ x ≤ a (значит a ≥ 0). Возводим в квадрат: a + 2√(x(a − x)) = a2, откуда 2√(x(a − x)) = a(a − 1) — правая часть обязана быть неотрицательной.
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 4ax + a2(a − 1)2 = 0. Сумма корней a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 4a2 − 4a2(a − 1)2 > 0 ⟺ |a − 1| < 1 ⟺ 0 < a < 2.
Вместе с условием a(a − 1) ≥ 0 это даёт 1 ≤ a < 2.
Ответ: [1; 2).
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 4ax + a2(a − 1)2 = 0. Сумма корней a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 4a2 − 4a2(a − 1)2 > 0 ⟺ |a − 1| < 1 ⟺ 0 < a < 2.
Вместе с условием a(a − 1) ≥ 0 это даёт 1 ≤ a < 2.
Ответ: [1; 2).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = 3a
имеет ровно два различных корня.
+ = 3a
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
[1/3; 2/3)
Решение
ОДЗ: 0 ≤ x ≤ 3a (значит a ≥ 0). Возводим в квадрат: 3a + 2√(x(3a − x)) = 9a2, откуда 2√(x(3a − x)) = a(9a − 3) — правая часть обязана быть неотрицательной.
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 12ax + a2(9a − 3)2 = 0. Сумма корней 3a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 36a2 − 4a2(9a − 3)2 > 0 ⟺ |9a − 3| < 3 ⟺ 0 < 9a < 6.
Вместе с условием a(9a − 3) ≥ 0 это даёт 1/3 ≤ a < 2/3.
Ответ: [1/3; 2/3).
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 12ax + a2(9a − 3)2 = 0. Сумма корней 3a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 36a2 − 4a2(9a − 3)2 > 0 ⟺ |9a − 3| < 3 ⟺ 0 < 9a < 6.
Вместе с условием a(9a − 3) ≥ 0 это даёт 1/3 ≤ a < 2/3.
Ответ: [1/3; 2/3).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = 3a
имеет ровно два различных корня.
+ = 3a
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
[4/9; 8/9)
Решение
ОДЗ: 0 ≤ x ≤ 4a (значит a ≥ 0). Возводим в квадрат: 4a + 2√(x(4a − x)) = 9a2, откуда 2√(x(4a − x)) = a(9a − 4) — правая часть обязана быть неотрицательной.
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 16ax + a2(9a − 4)2 = 0. Сумма корней 4a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 64a2 − 4a2(9a − 4)2 > 0 ⟺ |9a − 4| < 4 ⟺ 0 < 9a < 8.
Вместе с условием a(9a − 4) ≥ 0 это даёт 4/9 ≤ a < 8/9.
Ответ: [4/9; 8/9).
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 16ax + a2(9a − 4)2 = 0. Сумма корней 4a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 64a2 − 4a2(9a − 4)2 > 0 ⟺ |9a − 4| < 4 ⟺ 0 < 9a < 8.
Вместе с условием a(9a − 4) ≥ 0 это даёт 4/9 ≤ a < 8/9.
Ответ: [4/9; 8/9).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = 3a
имеет ровно два различных корня.
+ = 3a
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
[2/3; 4/3)
Решение
ОДЗ: 0 ≤ x ≤ 6a (значит a ≥ 0). Возводим в квадрат: 6a + 2√(x(6a − x)) = 9a2, откуда 2√(x(6a − x)) = a(9a − 6) — правая часть обязана быть неотрицательной.
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 24ax + a2(9a − 6)2 = 0. Сумма корней 6a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 144a2 − 4a2(9a − 6)2 > 0 ⟺ |9a − 6| < 6 ⟺ 0 < 9a < 12.
Вместе с условием a(9a − 6) ≥ 0 это даёт 2/3 ≤ a < 4/3.
Ответ: [2/3; 4/3).
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 24ax + a2(9a − 6)2 = 0. Сумма корней 6a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 144a2 − 4a2(9a − 6)2 > 0 ⟺ |9a − 6| < 6 ⟺ 0 < 9a < 12.
Вместе с условием a(9a − 6) ≥ 0 это даёт 2/3 ≤ a < 4/3.
Ответ: [2/3; 4/3).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
+ = 2a
имеет ровно два различных корня.
+ = 2a
имеет ровно два различных корня.
Показать ответ
[2; 4)
Решение
ОДЗ: 0 ≤ x ≤ 8a (значит a ≥ 0). Возводим в квадрат: 8a + 2√(x(8a − x)) = 4a2, откуда 2√(x(8a − x)) = a(4a − 8) — правая часть обязана быть неотрицательной.
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 32ax + a2(4a − 8)2 = 0. Сумма корней 8a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 256a2 − 4a2(4a − 8)2 > 0 ⟺ |4a − 8| < 8 ⟺ 0 < 4a < 16.
Вместе с условием a(4a − 8) ≥ 0 это даёт 2 ≤ a < 4.
Ответ: [2; 4).
Ещё одно возведение даёт 4x2 − 32ax + a2(4a − 8)2 = 0. Сумма корней 8a ≥ 0, произведение ≥ 0, поэтому оба корня сами собой попадают в ОДЗ.
Остаётся дискриминант: 256a2 − 4a2(4a − 8)2 > 0 ⟺ |4a − 8| < 8 ⟺ 0 < 4a < 16.
Вместе с условием a(4a − 8) ≥ 0 это даёт 2 ≤ a < 4.
Ответ: [2; 4).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.