|x²−px+a+c| ≤ M для всех x из [a−L; a] — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Неравенства «при всех x». 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 − 2x + a − 12| ≤ 8
выполняется для всех x из отрезка [a − 6; a].
|x2 − 2x + a − 12| ≤ 8
выполняется для всех x из отрезка [a − 6; a].
Показать ответ
{5}
Решение
Условие означает одно и то же: на всём отрезке [a − 6; a] должно быть −8 ≤ x2 − 2x + a − 12 ≤ 8.
Функция g(x) = x2 − 2x + a − 12 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 1 и значением в вершине a − 12 − 1.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 1 ≤ a ≤ 7), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −8, а наибольшее — не больше 8.
Ответ: {5}.
Функция g(x) = x2 − 2x + a − 12 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 1 и значением в вершине a − 12 − 1.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 1 ≤ a ≤ 7), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −8, а наибольшее — не больше 8.
Ответ: {5}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 − 8x + a − 12| ≤ 18
выполняется для всех x из отрезка [a − 4; a].
|x2 − 8x + a − 12| ≤ 18
выполняется для всех x из отрезка [a − 4; a].
Показать ответ
[9; 10]
Решение
Условие означает одно и то же: на всём отрезке [a − 4; a] должно быть −18 ≤ x2 − 8x + a − 12 ≤ 18.
Функция g(x) = x2 − 8x + a − 12 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 4 и значением в вершине a − 12 − 16.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 4 ≤ a ≤ 8), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −18, а наибольшее — не больше 18.
Ответ: [9; 10].
Функция g(x) = x2 − 8x + a − 12 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 4 и значением в вершине a − 12 − 16.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 4 ≤ a ≤ 8), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −18, а наибольшее — не больше 18.
Ответ: [9; 10].
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 − 2x + a − 12| ≤ 8
выполняется для всех x из отрезка [a − 5; a].
|x2 − 2x + a − 12| ≤ 8
выполняется для всех x из отрезка [a − 5; a].
Показать ответ
{5}
Решение
Условие означает одно и то же: на всём отрезке [a − 5; a] должно быть −8 ≤ x2 − 2x + a − 12 ≤ 8.
Функция g(x) = x2 − 2x + a − 12 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 1 и значением в вершине a − 12 − 1.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 1 ≤ a ≤ 6), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −8, а наибольшее — не больше 8.
Ответ: {5}.
Функция g(x) = x2 − 2x + a − 12 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 1 и значением в вершине a − 12 − 1.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 1 ≤ a ≤ 6), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −8, а наибольшее — не больше 8.
Ответ: {5}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 − 2x + a − 12| ≤ 8
выполняется для всех x из отрезка [a − 4; a].
|x2 − 2x + a − 12| ≤ 8
выполняется для всех x из отрезка [a − 4; a].
Показать ответ
{5}
Решение
Условие означает одно и то же: на всём отрезке [a − 4; a] должно быть −8 ≤ x2 − 2x + a − 12 ≤ 8.
Функция g(x) = x2 − 2x + a − 12 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 1 и значением в вершине a − 12 − 1.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 1 ≤ a ≤ 5), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −8, а наибольшее — не больше 8.
Ответ: {5}.
Функция g(x) = x2 − 2x + a − 12 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 1 и значением в вершине a − 12 − 1.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 1 ≤ a ≤ 5), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −8, а наибольшее — не больше 8.
Ответ: {5}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых неравенство
|x2 − 4x + a − 14| ≤ 14
выполняется для всех x из отрезка [a − 4; a].
|x2 − 4x + a − 14| ≤ 14
выполняется для всех x из отрезка [a − 4; a].
Показать ответ
[4; 7]
Решение
Условие означает одно и то же: на всём отрезке [a − 4; a] должно быть −14 ≤ x2 − 4x + a − 14 ≤ 14.
Функция g(x) = x2 − 4x + a − 14 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 2 и значением в вершине a − 14 − 4.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 2 ≤ a ≤ 6), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −14, а наибольшее — не больше 14.
Ответ: [4; 7].
Функция g(x) = x2 − 4x + a − 14 — парабола ветвями вверх с вершиной x = 2 и значением в вершине a − 14 − 4.
Наибольшее значение на отрезке достигается на одном из его концов, наименьшее — в вершине, если она попала на отрезок (то есть при 2 ≤ a ≤ 6), иначе тоже на ближайшем конце.
Остаётся потребовать, чтобы наименьшее значение было не меньше −14, а наибольшее — не больше 14.
Ответ: [4; 7].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.