x³+px²−ax+q = 0 — единственный корень на отрезке — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Дроби и замены (остаток раздела M). 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 − 2x2 − ax + 8 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 3].
x3 − 2x2 − ax + 8 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 3].
Показать ответ
(−∞; −5] ∪ {4} ∪ (17/3; +∞)
Решение
При x = 0 уравнение даёт 8 = 0 — неверно, поэтому нуль корнем не бывает и можно выразить параметр: a = x3 − 2x2 + 8x.
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−1; 3].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = −5 или a = 17/3) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 + 288a − 1472 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; −5] ∪ {4} ∪ (17/3; +∞).
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−1; 3].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = −5 или a = 17/3) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 + 288a − 1472 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; −5] ∪ {4} ∪ (17/3; +∞).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 − 2x2 − ax − 4 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 2].
x3 − 2x2 − ax − 4 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 2].
Показать ответ
(−∞; −2] ∪ [7; +∞)
Решение
При x = 0 уравнение даёт −4 = 0 — неверно, поэтому нуль корнем не бывает и можно выразить параметр: a = x3 − 2x2 − 4x.
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−1; 2].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = 7 или a = −2) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 − 144a − 560 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; −2] ∪ [7; +∞).
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−1; 2].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = 7 или a = −2) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 − 144a − 560 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; −2] ∪ [7; +∞).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 − 2x2 − ax + 8 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−2; 3].
x3 − 2x2 − ax + 8 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−2; 3].
Показать ответ
(−∞; 4) ∪ (17/3; +∞)
Решение
При x = 0 уравнение даёт 8 = 0 — неверно, поэтому нуль корнем не бывает и можно выразить параметр: a = x3 − 2x2 + 8x.
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−2; 3].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = 4 или a = 17/3) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 + 288a − 1472 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; 4) ∪ (17/3; +∞).
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−2; 3].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = 4 или a = 17/3) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 + 288a − 1472 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; 4) ∪ (17/3; +∞).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 + 2x2 − ax + 4 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 3].
x3 + 2x2 − ax + 4 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 3].
Показать ответ
(−∞; −5] ∪ {7} ∪ (49/3; +∞)
Решение
При x = 0 уравнение даёт 4 = 0 — неверно, поэтому нуль корнем не бывает и можно выразить параметр: a = x3 + 2x2 + 4x.
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−1; 3].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = −5 или a = 49/3) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 − 144a − 560 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; −5] ∪ {7} ∪ (49/3; +∞).
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−1; 3].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = −5 или a = 49/3) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 − 144a − 560 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; −5] ∪ {7} ∪ (49/3; +∞).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 − 2x2 − ax − 4 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 3].
x3 − 2x2 − ax − 4 = 0
имеет единственный корень на отрезке [−1; 3].
Показать ответ
(−∞; 5/3] ∪ [7; +∞)
Решение
При x = 0 уравнение даёт −4 = 0 — неверно, поэтому нуль корнем не бывает и можно выразить параметр: a = x3 − 2x2 − 4x.
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−1; 3].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = 7 или a = 5/3) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 − 144a − 560 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; 5/3] ∪ [7; +∞).
Значит вопрос равносилен такому: сколько раз горизонтальная прямая a пересекает график этой функции на [−1; 3].
Число корней меняется только в двух случаях: корень уходит через конец отрезка (тогда a = 7 или a = 5/3) либо два корня сливаются — а это нулевой дискриминант кубики, то есть 4a3 + 4a2 − 144a − 560 = 0.
Между соседними критическими значениями число корней постоянно, и остаётся выбрать промежутки, где оно равно единице.
Ответ: (−∞; 5/3] ∪ [7; +∞).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.