(x²−t²+√(kx−a))² = (x²−t²)²+kx−a — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
«A² = B²» — единственное решение на отрезке. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 − 4 + 2 = x2 − 42 + 2x − a
имеет единственное решение на отрезке [−1; 3].
x2 − 4 + 2 = x2 − 42 + 2x − a
имеет единственное решение на отрезке [−1; 3].
Показать ответ
(−∞; −2) ∪ [4; 6]
Решение
Слева x2 − 42 + 2(x2 − 4)√(2x − a) + (2x − a). Сокращая, получаем 2(x2 − 4)√(2x − a) = 0.
Отсюда x = 2 или x = −2 (каждый годится при ОДЗ 2x − a ≥ 0), либо 2x − a = 0, то есть x = 1/2a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [−1; 3].
Ответ: (−∞; −2) ∪ [4; 6].
Отсюда x = 2 или x = −2 (каждый годится при ОДЗ 2x − a ≥ 0), либо 2x − a = 0, то есть x = 1/2a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [−1; 3].
Ответ: (−∞; −2) ∪ [4; 6].
Пример 2
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 − 4 + 2 = x2 − 42 + 3x − a
имеет единственное решение на отрезке [0; 3].
x2 − 4 + 2 = x2 − 42 + 3x − a
имеет единственное решение на отрезке [0; 3].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ [6; 9]
Решение
Слева x2 − 42 + 2(x2 − 4)√(3x − a) + (3x − a). Сокращая, получаем 2(x2 − 4)√(3x − a) = 0.
Отсюда x = 2 или x = −2 (каждый годится при ОДЗ 3x − a ≥ 0), либо 3x − a = 0, то есть x = 1/3a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [0; 3].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [6; 9].
Отсюда x = 2 или x = −2 (каждый годится при ОДЗ 3x − a ≥ 0), либо 3x − a = 0, то есть x = 1/3a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [0; 3].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [6; 9].
Пример 3
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 − 1 + 2 = x2 − 12 + 2x − a
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
x2 − 1 + 2 = x2 − 12 + 2x − a
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ [2; 4]
Решение
Слева x2 − 12 + 2(x2 − 1)√(2x − a) + (2x − a). Сокращая, получаем 2(x2 − 1)√(2x − a) = 0.
Отсюда x = 1 или x = −1 (каждый годится при ОДЗ 2x − a ≥ 0), либо 2x − a = 0, то есть x = 1/2a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [0; 2].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [2; 4].
Отсюда x = 1 или x = −1 (каждый годится при ОДЗ 2x − a ≥ 0), либо 2x − a = 0, то есть x = 1/2a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [0; 2].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [2; 4].
Пример 4
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 − 1 + 2 = x2 − 12 + 3x − a
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
x2 − 1 + 2 = x2 − 12 + 3x − a
имеет единственное решение на отрезке [0; 2].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ [3; 6]
Решение
Слева x2 − 12 + 2(x2 − 1)√(3x − a) + (3x − a). Сокращая, получаем 2(x2 − 1)√(3x − a) = 0.
Отсюда x = 1 или x = −1 (каждый годится при ОДЗ 3x − a ≥ 0), либо 3x − a = 0, то есть x = 1/3a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [0; 2].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [3; 6].
Отсюда x = 1 или x = −1 (каждый годится при ОДЗ 3x − a ≥ 0), либо 3x − a = 0, то есть x = 1/3a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [0; 2].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [3; 6].
Пример 5
Найдите все значения a, при которых уравнение
x2 − 4 + 2 = x2 − 42 + x − a
имеет единственное решение на отрезке [0; 3].
x2 − 4 + 2 = x2 − 42 + x − a
имеет единственное решение на отрезке [0; 3].
Показать ответ
(−∞; 0) ∪ [2; 3]
Решение
Слева x2 − 42 + 2(x2 − 4)√(x − a) + (x − a). Сокращая, получаем 2(x2 − 4)√(x − a) = 0.
Отсюда x = 2 или x = −2 (каждый годится при ОДЗ x − a ≥ 0), либо x − a = 0, то есть x = a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [0; 3].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [2; 3].
Отсюда x = 2 или x = −2 (каждый годится при ОДЗ x − a ≥ 0), либо x − a = 0, то есть x = a.
Нужно ровно одно такое решение на отрезке [0; 3].
Ответ: (−∞; 0) ∪ [2; 3].
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.