(x³+x²−k²a²x−2mx+a)/(x³−k²a²x) = 1 — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Рациональные, четвёртой степени, кусочные. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 + x2 − 9a2x − 6x + ax3 − 9a2x = 1
имеет ровно один корень.
x3 + x2 − 9a2x − 6x + ax3 − 9a2x = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−19/9} ∪ {0} ∪ {17/9} ∪ {9}
Решение
Дробь равна единице, когда числитель минус знаменатель равен нулю, а знаменатель — нет.
Разность даёт x2 − 6x + a = 0, а знаменатель x(x − 3a)(x + 3a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±3a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 9), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−19/9} ∪ {0} ∪ {17/9} ∪ {9}.
Разность даёт x2 − 6x + a = 0, а знаменатель x(x − 3a)(x + 3a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±3a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 9), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−19/9} ∪ {0} ∪ {17/9} ∪ {9}.
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 + x2 − 9a2x − 8x + ax3 − 9a2x = 1
имеет ровно один корень.
x3 + x2 − 9a2x − 8x + ax3 − 9a2x = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−25/9} ∪ {0} ∪ {23/9} ∪ {16}
Решение
Дробь равна единице, когда числитель минус знаменатель равен нулю, а знаменатель — нет.
Разность даёт x2 − 8x + a = 0, а знаменатель x(x − 3a)(x + 3a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±3a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 16), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−25/9} ∪ {0} ∪ {23/9} ∪ {16}.
Разность даёт x2 − 8x + a = 0, а знаменатель x(x − 3a)(x + 3a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±3a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 16), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−25/9} ∪ {0} ∪ {23/9} ∪ {16}.
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 + x2 − 16a2x − 4x + ax3 − 16a2x = 1
имеет ровно один корень.
x3 + x2 − 16a2x − 4x + ax3 − 16a2x = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−17/16} ∪ {0} ∪ {15/16} ∪ {4}
Решение
Дробь равна единице, когда числитель минус знаменатель равен нулю, а знаменатель — нет.
Разность даёт x2 − 4x + a = 0, а знаменатель x(x − 4a)(x + 4a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±4a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 4), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−17/16} ∪ {0} ∪ {15/16} ∪ {4}.
Разность даёт x2 − 4x + a = 0, а знаменатель x(x − 4a)(x + 4a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±4a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 4), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−17/16} ∪ {0} ∪ {15/16} ∪ {4}.
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 + x2 − 4a2x − 4x + ax3 − 4a2x = 1
имеет ровно один корень.
x3 + x2 − 4a2x − 4x + ax3 − 4a2x = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−9/4} ∪ {0} ∪ {7/4} ∪ {4}
Решение
Дробь равна единице, когда числитель минус знаменатель равен нулю, а знаменатель — нет.
Разность даёт x2 − 4x + a = 0, а знаменатель x(x − 2a)(x + 2a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±2a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 4), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−9/4} ∪ {0} ∪ {7/4} ∪ {4}.
Разность даёт x2 − 4x + a = 0, а знаменатель x(x − 2a)(x + 2a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±2a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 4), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−9/4} ∪ {0} ∪ {7/4} ∪ {4}.
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение
x3 + x2 − 16a2x − 2x + ax3 − 16a2x = 1
имеет ровно один корень.
x3 + x2 − 16a2x − 2x + ax3 − 16a2x = 1
имеет ровно один корень.
Показать ответ
{−9/16} ∪ {0} ∪ {7/16} ∪ {1}
Решение
Дробь равна единице, когда числитель минус знаменатель равен нулю, а знаменатель — нет.
Разность даёт x2 − 2x + a = 0, а знаменатель x(x − 4a)(x + 4a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±4a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 1), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−9/16} ∪ {0} ∪ {7/16} ∪ {1}.
Разность даёт x2 − 2x + a = 0, а знаменатель x(x − 4a)(x + 4a) обращается в нуль при x = 0 и x = ±4a — эти корни надо выколоть.
Ровно один корень получается, когда либо дискриминант равен нулю (a = 1), либо один из двух корней совпал с выколотой точкой.
Ответ: {−9/16} ∪ {0} ∪ {7/16} ∪ {1}.
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.