{(y−1)(xy−k)/√(x−v) = 0; y = x + a} — задание 19 ЕГЭ по профильной математике
Распадающаяся кривая + прямая. 5 примера с ответом и проверкой.
Пример 1
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
xy2 − xy − 4y + 4 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
xy2 − xy − 4y + 4 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{−3} ∪ [0; 3)
Решение
Числитель раскладывается: xy2 − xy − 4y + 4 = (y − 1)(xy − 4), а ОДЗ (знаменатель — корень) даёт x > −2.
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 4 при x > −2.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 4 = 0.
Ответ: {−3} ∪ [0; 3).
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 4 при x > −2.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 4 = 0.
Ответ: {−3} ∪ [0; 3).
Пример 2
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
xy2 − xy − 6y + 6 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
xy2 − xy − 6y + 6 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{−5} ∪ [5/2; 5)
Решение
Числитель раскладывается: xy2 − xy − 6y + 6 = (y − 1)(xy − 6), а ОДЗ (знаменатель — корень) даёт x > −4.
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 6 при x > −4.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 6 = 0.
Ответ: {−5} ∪ [5/2; 5).
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 6 при x > −4.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 6 = 0.
Ответ: {−5} ∪ [5/2; 5).
Пример 3
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
xy2 − xy − 9y + 9 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
xy2 − xy − 9y + 9 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{−8} ∪ [−5/2; 3)
Решение
Числитель раскладывается: xy2 − xy − 9y + 9 = (y − 1)(xy − 9), а ОДЗ (знаменатель — корень) даёт x > −2.
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 9 при x > −2.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 9 = 0.
Ответ: {−8} ∪ [−5/2; 3).
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 9 при x > −2.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 9 = 0.
Ответ: {−8} ∪ [−5/2; 3).
Пример 4
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
xy2 − xy − 5y + 5 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
xy2 − xy − 5y + 5 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{−4} ∪ [−1/2; 3)
Решение
Числитель раскладывается: xy2 − xy − 5y + 5 = (y − 1)(xy − 5), а ОДЗ (знаменатель — корень) даёт x > −2.
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 5 при x > −2.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 5 = 0.
Ответ: {−4} ∪ [−1/2; 3).
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 5 при x > −2.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 5 = 0.
Ответ: {−4} ∪ [−1/2; 3).
Пример 5
Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений
xy2 − xy − 8y + 8 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
xy2 − xy − 8y + 8 = 0y = x + a
имеет ровно два различных решения.
Показать ответ
{−7} ∪ [−2; 3)
Решение
Числитель раскладывается: xy2 − xy − 8y + 8 = (y − 1)(xy − 8), а ОДЗ (знаменатель — корень) даёт x > −2.
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 8 при x > −2.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 8 = 0.
Ответ: {−7} ∪ [−2; 3).
Значит первая строка задаёт прямую y = 1 и гиперболу xy = 8 при x > −2.
Прямая y = x + a пересекает y = 1 в точке x = 1 − a, а гиперболу — в корнях уравнения x2 + ax − 8 = 0.
Ответ: {−7} ∪ [−2; 3).
Другие темы задания №19
1Линейный знаменатель: (k²x²−a²)/(px−q−ra) = 02Разность квадратов внизу: (k²x²−a²)/((x+m)²−a²) = 03Параметр в свободном члене: (x²−2mx+a)/((kx−a)(x−a)) = 04(ca−x²+bx)/(x−a²) = 0 — полюс x = a², кубическое уравнение выкалываний5Полюсы ±√a: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²−a) = 06Раскладывающийся знаменатель: (x²−2mx+a²+2ta)/((kx+a)(x−a)) = 07Выкалывания через резольвенту: (x²−2mx+a²−2ta)/(x²+px−qa) = 08Параметр в обеих частях: (x²+2ux−ca)/(x²−2vx+a²−2wa) = 09Модуль в числителе: (|kx|−x−c−a)/(x²−px−qa) = 010Модуль и a² внизу: (|kx−b|+ra−b)/(x²−2mx+a²) = 011Промежуток области определения: (x²−a(a−1)x−a³)/√(квадратный) = 012(x²−2mx+a²)/√((a+b−x)(a−c+x)) = 0 на отрезке
Нужен репетитор по математике?
Посмотрите репетиторов, которые ведут занятия в Precettore, или оставьте заявку — подберём сами.
Готовьтесь к ЕГЭ по профильной математике в Precettore
Варианты с автопроверкой, домашние задания от репетитора, онлайн-доска и разбор ошибок — в одном кабинете. Регистрация бесплатная.